* 1. Понимание постановки задачи.
Цель: ясное понимание задачи.
Что известно? Что дано? В чем состоит условие? Возможно ли удовлетворить условие? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?
Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения. Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.
2. Составление плана решения.
Необходимо найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.
Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме? Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
Вот задача, родственная данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей? Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям.. ?;?
Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую. Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть:
насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?
Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?
3. Осуществление плана.
Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?
4. Взгляд назад (изучение полученного решения).
Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?
Алгоритм поиска решения (по Д.Пойа).
1. Понять предложенную задачу. Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи? Или они недостаточны, или же чрезмерны? Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Нельзя ли найти связь между данной задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу?
Эти вопросы нужно повторять каждый раз, когда в ходе решения наступает заминка, при решении каждой промежуточной задачи. Кроме того: все ли данные задачи были уже использованы?
"Заменить термины их определениями" (Паскаль).
2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи ("анализ").
Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестным и данными. Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи. Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным. Решить только часть задачи. Удовлетворить только части условий: насколько неопределенным окажется тогда неизвестное (Геометрические места!). Обобщить. Рассмотреть частные случаи. Применить аналогию.
3. Реализовать найденную идею решения ("синтез"). Испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, "что
усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью"
(Декарт).
4. Решение проверить и оценить критически. Правдоподобен ли результат? Почему? Нельзя ли сделать проверку? Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату? Более прямого пути? Какие результаты еще можно получить на том же пути? (Пойа Д. Как решить задачу. - М., 1959. - С. 200-204).
Решение мыслительной задачи проходит четыре этапа: возникновение проблемы, построение различных гипотез возможного решения и его проверка.
В зависимости от стиля умственной деятельности человека и доступности для него содержания задачи, ее решение может осуществляться различными способами. Наименее типичным для человека является способпроб и ошибок. При этом способе обычно нет ни достаточно четкого осознания задачи, ни построения и целенаправленной проверки различных гипотез. Этот способ, как правило, не приводит к накоплению опыта и не служит условием умственного развития человека.
В качестве способов решения мыслительной задачи, которые не только позволяют скорее найти ответ, но и являются условиями умственного развития человека, могут быть названы такие, как пассивное использование алгоритма, целенаправленная трансформация условий задачи, активное применение алгоритма и эвристические способы решения задачи.